Le nombre π (pi), rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, fascine les mathématiciens depuis l’Antiquité. Sa nature irrationnelle rend impossible son expression exacte sous forme de fraction, mais certaines approximations fractionnaires sont remarquablement précises.
Les Approximations Classiques
π ≈ 22/7 (Approximation d’Archimède)
L’approximation la plus célèbre remonte à Archimède (vers 250 av. J.-C.) :
π ≈ 22/7 ≈ 3,142857…
Cette fraction donne π avec une précision de 0,04% et reste l’approximation la plus mémorisable. Archimède avait en fait établi que π était compris entre 223/71 et 22/7.
π ≈ 355/113 (Approximation de Miluü)
Découverte par le mathématicien chinois Zu Chongzhi (vers 480) et redécouverte en Europe par Adrien Metius en 1625 :
π ≈ 355/113 ≈ 3,1415929…
Cette approximation est remarquable par sa précision exceptionnelle : elle est exacte jusqu’à la 6e décimale ! L’erreur n’est que de 2,7 × 10⁻⁷.
Les Fractions Continues et Approximations Modernes
Les approximations suivantes proviennent du développement de π en fraction continue :
π = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))Approximations Successives
-
π ≈ 52163/16604 ≈ 3,141592653…
- Exacte jusqu’à la 9e décimale
- Erreur : ≈ 5,9 × 10⁻¹¹
-
π ≈ 103993/33102 ≈ 3,141592653589…
- Exacte jusqu’à la 11e décimale
- Erreur : ≈ 7,9 × 10⁻¹³
-
π ≈ 104348/33215 ≈ 3,141592653589793…
- Exacte jusqu’à la 15e décimale
- Erreur : ≈ 2,4 × 10⁻¹⁶
-
π ≈ 245850922/78256779 ≈ 3,141592653589793238…
- Exacte jusqu’à la 18e décimale
- Erreur : ≈ 4,6 × 10⁻²⁰
Tableau Comparatif
| Fraction | Valeur décimale | Précision | Époque |
|---|---|---|---|
| 22/7 | 3,142857… | 2 décimales | Antiquité |
| 355/113 | 3,1415929… | 6 décimales | Ve siècle |
| 52163/16604 | 3,141592653… | 9 décimales | Moderne |
| 103993/33102 | 3,141592653589… | 11 décimales | Moderne |
| 104348/33215 | 3,141592653589793… | 15 décimales | Moderne |
| 245850922/78256779 | 3,141592653589793238… | 18 décimales | Moderne |
La Beauté des Fractions Continues
Ces approximations ne sont pas arbitraires : elles correspondent aux convergents du développement de π en fraction continue. Chaque convergent représente la meilleure approximation fractionnaire possible avec un dénominateur inférieur ou égal à une certaine limite.
La fraction 355/113 est particulièrement élégante car elle combine :
- Une simplicité relative (nombres à 3 chiffres)
- Une précision remarquable (6 décimales exactes)
- Une facilité de mémorisation
Applications Pratiques
- Calculs manuels : 22/7 reste suffisant pour la plupart des applications courantes
- Programmation : 355/113 offre un excellent compromis précision/simplicité
- Calculs de haute précision : Les fractions plus complexes sont utiles pour les applications scientifiques
Conclusion
Ces approximations témoignent de l’ingéniosité mathématique à travers les âges. De l’antique 22/7 aux fractions continues modernes, chaque approximation représente un équilibre entre simplicité et précision, illustrant parfaitement la quête humaine pour appréhender l’insaisissable nombre π.
“π est l’une des constantes les plus importantes et les plus mystérieuses des mathématiques” - et ces approximations nous permettent de l’apprivoiser, fraction par fraction.